مبانی آکوستیک
ارتعاش های میله ها
بخش سوم میله بار شده. در بسیاری از کاربردهای عملی، انتهای آزاد میله مرتعش نه محکم در قید گذاشته شده و نه کاملا آزاد است، بلکه نوعی امپدانس مکانیکی، که بیشتر از نوع جرم تنظیم شده است، به آن وصل کرده اند. در این حالت آن را میله بارشده گویند. نقطه اتصال را در این حالت نمی توان کاملا آزادگرفت. از جمله در نوعی از تراگذارهای صوتی، لوله ای از نیکل به کار می برند که یک سر آن در 
آزاد و سر دیگر در 
به دیافراگمی متصل است که خود دارای جرم و نوعی امپدانس مکانیکی است. به کار بردن شرط مرزی 
در معادله 3.9 در با نتیجه A=B به معادله 3.17 منجر می شود. شرط مرزی در با رابطه زير داده می شود
چون مقدار مثبت 
سبب تراكم ميله می گردد، واكنش جرمی که به انتهای راست میله متصل است شتابی در جهت راست است. اگر جرم m به انتهای چپ میله متصل باشد، واکنش نیروی مثبت تراکمی در این نقطه سبب ایجاد شتابی به سمت چپ می شود؛ و شرط مرزی در این نقطه با معادله زیر بیان می گردد
با به کار بردن شرط مرزی معادله 3.22، در معادله 3.17 ، این رابطه به دست می آید
یا
که کوتاه شده آن چنین است
برای این معادله «فرازنده» حل صریحی وجود ندارد. اما اگر m خیلی كوچك نزديك صفر باشد، می توان نوشت 
و 
است، که همان فرکانسهای هارمونيك میله دوسر آزاد را به دست می دهد. در حقیقت اگر m نزديك صفر باشد، می توان انتهای آن را آزاد فرض کرد. همچنین اگر جرم متصل به میله بسیار بزرگی باشد، می توان نوشت 
و 
است و میله مانند حالت يك سر آزاد، دارای فرکانسهای هارمونيك فرد خواهد بود. در ابزارهای انتقال صوت، معمولا يك سر میله به جرم بزرگی متصل است (جرم پایه). اگر میله سبك و پایه سنگین باشد حد وسط این دو حالت را می توان به طریق ترسیم به آسانی حل کرد. اگر در معادله 3.22 به جای Y مقدار آن 
را از معادله 3.84، و به جای 
جرم میله، 
، را قرار دهیم، بدین صورت در می آید
حال اگر منحنی نمایش دو تابع 
و 
را بر حسب 
رسم کنیم، مقادیری از در نقاط فصل مشترک این دو منحنی در رابطه بالا صدق می کنند؛ و فرکانسهای ارتعاشی میله از آن مقادیر به دست می آیند. در حالت خاص که 
است ، مقادیری از kl که در رابطه بالا صادقند از این قرارند
فرکانس اصلی از 
به مقدار 
به دست می آید، که بين دو فرکانس اصلی 
میله دوسر آزاد، و 
ميله يكسر آزاد است چنانکه ملاحظه می شود، در این حالت فرکانسهای فرعی، هارمونیکهای فرکانس اصلی نیستند. مثلا فرکانس دوم و فرکانس اصلی به نسبت 
هستند. این فرکانسهای غیر هارمونيك در کاربردهای میله در ارتعاش طولی اغلب نامطلوبند. مثلا اگر میله بارشده نیلی را که برای تولید صوت با فرکانس ثابت به کار می رود در نظر بگیریم، ميله درون قرقره سیم پیچی قرار دارد که جریان متناوبی از آن می گذرد. میله بر اثر خاصیت مانیتواستریکسیون بهارتعاش در می آید. اگر این جریان خوب صاف نشده باشد باهارمونیکهایی همراه است؛ و چون صداهای فرعی ميله، هارمونيك صدای اصلی نیستند، با هارمونیکهای جریان رزونانس پیدا نکرده و سبب ضعف صوت می گردند. از طرف دیگر هارمونیك نبودن فرکانسهای فرعی جای گرهها را در میله تغییر می دهد. معمولا گره ها در نقاطی پدیدار می شوند که فاصله های آنها در رابطه زير صدق کنند
در مثال بالا , ، فرکانس مد اصلی ارتعاش از به دست می آید و گره آن از این رابطه محاسبه می شود
چنانکه ملاحظه می شود، در ميله دو سر آزاد گره در نقطه وسط میله نیست، بلکه به انتهای بار شده ميله متوجه است (شکل 3.4 ).
شكل 3.4 مد اصلی ارتعاش میله بار شده .
شرایط مرزی عمومی مسئله میله بار شده را نیز می توان با بکار بردن امپدانس مکانیکی میله حل کرد. امپدانس مکانیکی میله در نقطه به صورت زیر است
که آن را از معادله 3.22 می توان به دست آورد. اگر جرم m به انتهای دیگر میله متصل باشد (در نقطه ) امپدانس مکانیکی میله در آن نقطه چنین است
علامت منها نشان دهنده اختلاف فاز 
بين نيروی مثبت وارد به جرم و نیروی وارد به میله است. چنانچه بار متصل به میله انرژی تلف کند، یا با نیروهای واکنشی همراه باشد، امپدانس مکانیکی 
یا 
انگاری محض نیست، بلکه کمیتی مختلط است. این مورد هنگامی پیش می آید که میله به جعبه رزونانس یا چیز دیگری که موج آکوستیکی پخش می کند متصل باشد. تأثير بار در میله میر اساختن ارتعاشهای آزاد آن است، و وجود نیروهای مقاوم بسبب تغيير جزئی در فرکانسهای مدهای مختلف ارتعاشی آن می گردد، چنانکه در نوسانگر ساده شرح آن گذشت. با این حال، در اغلب کاربردهای عملی تأثیر نیروهای مصرف کننده در فرکانسهای طبیعی میله نسبت به تأثير راكتانس جرمی ناچیز است، و تجزیه و تحلیل ارتعاش میله بارشده شبیه مطالعه موجهای تخت آکوستیکی در لوله هاست؛ چنانکه بحث ریاضی آن به تفصیل خواهد آمد. در بحث فوق فرض این بود که جرم mخود دارای ارتعاش مشخصی نباشد در موردی که یکی از دو انتهای میله مرتعش با موج طولی به جسم دیگری مانند دیافراگم مرتعش و یا ابزار دیگر مرتعش متصل شده باشد میله با فرکانسهای جسم مرتعش نوسان می کند و بحث ریاضی آن شبیه حالتی است که در موجهای عرضی تارهای مرتعش تشریح گردید. یادآور شویم که بعضی مواد ممکن است به وسیله نیروهای درونی همراه با پدیده های مانیتو استریکسیون و پیزوالکتريك به ارتعاش در آیند. شرح این نوع دستگاههای مرتعش خواهد آمد.
