مبانی آکوستیک
موجهای آکوستیکی کروی
بخش اول معادله های موج تخت 5.9 و 5.9a که در بند 5.3 برای موجهای تحت به دست آمدند با وجود سادگی در موردهای محدودی به کار می آیند. بسیاری از انواع منابع صوتی ، موجهای کروی واگرا تولید می کنند که از آن انرژی آکوستیکی هر چه از منبع دورتي شود در سطحهای وسیعتری پخش می گردد. نتیجه آنکه هم شدت و هم فشار اینگونه موجها با افزایش فاصله از منبع رو به کاهش می رود. نخستین هدف ما در بحث موجهای کروی یافتن معادله عمومی موج است که بكمك آن بتوان هر نوع موج آکوستیکی سه بعدی پس ندادنی را مطالعه کرد. چنین معادله ای را می توان مستقیما از مختصات کروی به دست آورد، ولی از مختصات دکارتی آسانتر نتیجه گیری می شود. در مراجعه به کتابهای مختلف آكوستيك، خواننده روشهای متعددی برای یافتن معادله ی عمومی موج خواهد یافت که بعضی به نظر ساده و برخی مشکل می آیند؛ ولی همه آنها با ترکیبی از سه معادله اساسی شارهها، یعنی معادده پیوستگی، معادله خواص الإستيك، و معادله نيرو، نتیجه گیری شده است و در همه حال فرضهای ساده کننده ای چون کوچك بودن دامنه تغييرات چگالی، تراکم، تغيير مكان و سرعت ذره ای در آن در نظر گرفته شده است. بسط زیر در یافتن معادله عمومی موج آکوستیکی که در آن مختصات دکارتی به کار می رود يك حالت کلی است از بحث بند 5.2 و 5.3 که برای یافتن معادله موج تخت مورد استفاده قرار گرفته است. معادله عمومی موج. ذره ای از محیط شاره ای را در نظر می گیریم که در حال تعادل دارای مختصات x y و z باشد. در حالت عمومی این ذره می تواند در هر امتداد اختیاری حرکت داشته باشد. اگر مسافت پیموده آن را با بردار d به مؤلفه های 
و 
و در امتداد محورهای x و y و z فرض کنیم، بردار سرعت لحظه ای آن برابر 
با مؤلفه های 
و 
و 
معرفی می شوند. مقدارهای بالا و همچنین فشار آکوستیکی p و تراکم s و تابعهایی از x ، y و z و t هستند . اينك فرض می کنیم که در عبور موج صوتی از شاره، هر جفت از سطوح موازی عنصر حجمی مکعب مستطیل شکل،
، که در شکل 7.1 نموده شده ، مانند آنچه در حالت يك بعدی در بند 5.2 دیدیم، تغییر مکانهای موازی بیاید . حجم ابتدائی 
حال تعادل پس از عبور موج به
بدل می گردد و پیوستگی جرم که در موج يك بعدی با معادله 5.3 معرفی شده است بدین صورت در می آید
شکل 11 عنصر حجمی متوازی السطوح
همچنین با فرض اینکه تغییرات چگالی و تغییر مکان اندك باشند، می توان از جمله هایی نظیر 
،
و 
و غیره، بینهایت کوچکهای درجه دوم، چشمپوشید. در این صورت مبادله 7.1 بدین عبارت خلاصه می گردد .
معادله بالا شکل سه بعدی خاص از معادله کلی تر هیدرودینامیک به نام معاد لة پیوستگی است. معادله بالا را می توان به صورت برداری چنین نوشت
که در آن
دیورژانس بر دار تغییر مکان d است و با به کار بردن معادله 5.4b که بعضی از خواص الاستیك شاره را معرفی می کند می توان دو معادله بالا را با حذف ی، بر حسب فشار آکوستیکی بیان کرد
یا
اگر اختلاف فشار بین هر زوج از سطوح ابتدایی و انتهایی حجم ابتدایی dxdxdz (شکل 7.1) را محاسبه کنیم و در سه معادله نیرو در امتداد سه محور x و y وzبه کار بریم، بدین عبارات در می آیند
هر گاه از اولی مشتق جزئی جزئی به حسب x، از دومی برحسب y و از سومی برحسب z گرفته با هم جمع کنیم، معادله زیر به دست می آید
که به صورت برداری می توان آن را چنین نوشت
که در آن 
نشانه افرندگر لاپلاس یا لاپلاسین است . اگر
را از دو معادله 7.3a و 7.5a حذف کنیم معادله عمومی موج آکوستیکی به صورت زیر در می آید
یاد آوری می کنیم که اگر موجی چنان باشد که فشار آکوستیکی آن به y و z بستگی نداشته باشد، معادله عمومی 7.6 به موج تخت یک بعدی 5.9aبدل می شود که در بند 5.3 شرح آن گذشت. معادله بالا که با به کار بردن مختصات دکارتی به دست آمد، برای حل مسائل در مختصات نوع دیگر نیز به کار می رود ؛ مشروط بر آنکه شکل مناسب افرند گر لاپلاس را در هر مورد معین کنیم. از میان دستگاههای مختلف مختصات ممكن، سه نوع آن برای مسائل مربوط به آکوستيك بيشتر مناسبت دارند. مختصات دکارتی بیشتر برای بحث موجهای تخت در فضای آزاد با فضای محدود به سطوح مکعب مستطیل به کار می رود. از طرف دیگر تجزیه و تحلیل موجهای استوانه ای مانند موجهای منتشر شده به وسيله يك استوانه طويل يا موجهای موجود در يك فضای محدود به سطح استوانه با نمایش معادله 7.6 به وسیله مختصات استوانه ای ساده تر می شود. بالاخره مطالعه موجهای کروی مانند موجهای منتشر شده از يك منبع کوچک مرکزی، با تبدیل معادله 7.6 به مختصات کروی به مراتب آسانتر می گردد. معادله موجهای کروی. افرندگر لاپلاس در مختصات کروی چنین است
که در آن 
، 
ئو
است. چنانکه از شکل 7.2 نمودار است، هرگاه موج دارای تقارن کروی باشد، يعني فشار آکوستیکی 
تنها تابعی از مسافت شعاعی و زمان فرض شود و به مختصات زاویه ای 
و 
بستگی نداشته باشد، جایگزین کردن 
، از معادله 7.7 در معادله 7.6، معادلات زیر را به دست می دهد.
از طرف دیگر چون مختصات فضایی r متغیر مستقلی است که به زمان بستگی ندارد، مشتق جزئی
را می توان چنین نوشت
که اگر آن را در معادله 7.8a به کار بریم بدین عبارت منجر می گردد
هرگاه حاصلضرب rp را در معادله بالا متغیر مطلق فرض کنیم این معادله مشابه معادله موج تخت 5.9 میشود که حل عمومی آن بدین صورت است
جمله اول معادله بالا معرف موجی کروی است که با سرعت ع از مبدأ مختصات دور می شود، و جمله دوم آن معرف موجی کروی است که به مبدأ مختصات می گراید. موجهای کروی همگرا اهمیت چندانی ندارند که تفصیل آنها در اینجا ذکر شود، ولی یادآوری این نکته به مورد است که وقتی 7 در مبدأ به صفر می رسد معادله بالا برای فشار آکوستیکی در کانون مقادیری بینهایت پیشبینی می کند. در عمل این مقادیر بینهایت نیستند بلکه معین و قابل اندازه گیری هستند، ولی چنان بزرگی می شوند که فرضیات متعدد برای جستجوی معادله ی عمومی موج در آنها قابل قبول نمی ماند. و متذکر می شویم که در هر يك از سه معادله همنله 7.4، گرادیان منفی فشار مثل 
با شتاب ذره ای در امتداد معين متناسب است. همچنین با ترکیب این معادله ها می توان نشان داد که در موجهای کروی گرادیان فشار شعاعی 
با شتاب شعاعی ذره ای متناسب است
که در آن معرف تغيير مكان شعاعی ذره است (در فصل پنجم و همچنین در بند 7.2 ، تغيير مكان در امتداد معرفی شده است). اگر از معادله 7.11 برحسب زمان انتگرال بگیریم، معادله سرعت، u، به دست می آید
که معادله عمومی ارتباط سرعت شعاعی ذره ای و فشار آکوستیکی است. در مورد موجهای هارمونی که در آنها ارتباط فشار و زمان با انه معرفی گردید، معادله 7.12 بدین عبارت مختلط در می آید
و بالاخره با انتگرال گیری آن بر حسب زمان می توان معادله تغییر مکان موج هارمونيك را به صورت مختلط به دست آورد
