مبانی آکوستیک
موجهای آکوستیکی کروی
بخش دوم
موجهای کروی هارمونيك. مهمترین نوع موج کروی واگرا موجی است که در آن ارتعاش هارمونيك باشد. چنین موجی را می توان با معادله زیر معرفی کرد
با به کار بردن روابط موجود بين متغیرهای دیگر آکوستیکی وفشار، معادله های زیر برای معرفی آنها به دست می آیند
قسمت های حقیقی معادله های .14 تا 7.17 متغیرهای مختلف آکوستیکی را به دست می دهند. چنانکه از معادله 7.16 نمودار است، بر خلاف موجهای تخت سرعت ذره ای و فشار آکوستیکی با یکدیگر همفاز نیستند. فاز بين p و u را می توان از معادله 7.16 به دست آورد
که در آن
چنانکه ملاحظه می شود، فشار آکوستیکی به میزان 
از سرعت ذره ای جلو می افتد. برای مقادیر کو چك kr ، و نزديك 
است و با زیاد شدن kr مقدار آن از °90 نزول می کند ، و عملا به صفر می رسد. حاصل ضرب kr در بسیاری از پدیده های آکوستیکی نقش تعیین کننده دارد، و مقدار هر يك از آن دو عاملی ضرب جداگانه تأثیری در چگونگی آن ندارد، چون 
است زاویه فاز تابعی از نسبت فاصله سطوح موج از منبع به طول موج است. در موردهایی که فاصله از منبع تنها کسر کوچکی از طول موج باشد اختلاف فاز بين فشار آکوستیکی و سرعت ذره ای زیاد است، ولی اگر این فاصله برابر شماره زیادی از طول موج گردد p و u از حيث فاز به هم خیلی نزدیک می شوند و در این حال موج کروی دارای بعضی از خواص موج تخته می گردد. این رفتار شایان توجه است زیرا سطوح موج کروی در قسمت محدودی که مورد استفاده قرار می گیرد در فاصله های دور از منبع به سطوح تخت بدل می شوند. معادله 7.17 نشان می دهد که تغییر مکان 
نسبت به سرعت ذره ای u برای تمام مقادير kr، به میزان °90 عقب است. در شكل 7.3 اختلاف فاز بین متغیرهای مختلف آکوستیکی به ازای 
نشان داده شده است. امپدانس آکوستیکی ویژه. چون امپدانس آکوستیکی ویژه z با نسبت 
معرفی می شود، معادله 7.18 می رساند که مقدار آن در فضای حامل موجهای کروی معمولا به صورت مختلط است. اگر مقادیر حقیقی و انگاری معادلة 7.18 را جدا سازیم بدین صورت در می آید
جمله اول رابطه بالا مقاومت آکوستیکی ویژه و جمله دوم آن راكتانس آکوستیکی ویژه را معرفی می کند. به ازای مقادیر خیلی کوچك و هر دو به حفر نزدیک می شوند، ولی به ازای مقادیر خیلی زیاد kr مقاومت آکوستیکی ویژه به مقدار 
هم نزدیک می شود در صورتی که راكتانس آکوستیکی به صفر میل می کند. هنگامی که 1 = kr باشد مقاومت آکوستیکی ویژه و راكتانس ویژه هر دو برابر 
می شوند. در این حال دومی ماکسیمم مقدار خود را دارا است . مقدار مطلق z ، امپدانس آکوستیکی ویژه، نسبت دامنه ی فشار موج (P) به دامنه سرعت (U) آن است.
چون tg=1/kr است، چنانکه از شکل 7.4 نمودار است، 
بدين مقدار است
بنابراین معادله 7.21 بدین عبارت خلاصه می شود
و رابطه بین دامنه فشار و دامنه سرعمته بدین صورت در می آید
به ازای مقادير زياد kr ، به واحد نزديك می شود و رابطه بين فشار و سرعت به صورتی که در موج تخت با معادله 5.41 معرفی شده است در می آید. هنگامی که فاصله نقطه دریافت موج از منبع موج کروی کم می شود، kr و هر دو نزول می کنند و سرعتهای ذره ای به ازای فشار معين افزایش می یابد. در فواصل بسیار کم از منبع سرعتهای ذره ای حتی برای مقادیر بسیار کوچک فشار بی اندازه زیاد می شوند، و نتیجه این است که منبع صوت كوچك، توانائی پخش موجهای صوتی کروی با شدت زیاد را ندارد. همچنین منبع صوتی به ابعاد متوسط نیز قادر نیست در فرکانسهای کم، توان صوتی قابل ملاحظه ای ایجاد کند. به منظور نمایاندن دشواریهای بالا، دامنه های سرعت و تغییر مکان ذره ای موج کروی را در فاصله 2.5 سانتیمتری منبع صوت در هوا به فرکانس 20 سیکل در ثانیه حساب می کنیم . در صورتی که دامنه فشار موج در آن فاصله برابر 20 میکرو بار (2 نیوتن بر متر مربع) فرض شده باشد، چون 
است، پس
و تغییر مکان متناظر با آن چنين خواهد شد
چنانکه ملاحظه می شود، مقادیر دامنه های بالا زیاد نیستند. با همین فشار و فرکانس مقادیر بالا در موج تخت در فاکتور
یا تقريبا 110 ضرب می شوند. 7.6 شدت موجهای کروی. معادله 7.14 را دوباره می نویسیم
بدون کاستن از عمومیت آن می توان زمان را چنان اختیار کرد که مقدار مختلط A در آن به مقدار حقیقی A بدل گردد و A/r دامنه فشار موج معرفی شود. یادآوری می کنیم که دامنه فشار در موج کروی نامیرا مانند موج تخت فاميرا ثابت نمی ماند، بلکه به نسبت عکس فاصله لا ازمنبع کاهش می یابد. در حالت بالا مقدار حقیقی معادله 7.14a بدین صورت نوشته می شود
چون u=pz است مقدار سرعت ذره ای به صورت مختلط بدین عبارت است
اگر مقدار zرا بر حسب مشخصات موج
در آن قرار داده ومقدار حقیقی سرعت ذره ای را به دست آوریم، بدین عبارت خلاصه می گردد
و دامنه آن چنین است
و مانند دامنه تغییر مکان نسبت معکوس با فاصله 7 ندارد. به همین مناسبت بهتر است در مطالعه موجهای کروی آنها را با دامنه فشار معرفی کنیم نه با دامنه سرعت ذره ای. معادله 7.23a را نیز می توان بدین صورت نوشت
تراکم انرژی لحظه ای، 
، را می توان از معادله 5.29 به دست آورد که هم در موجهای تخت و هم در موجهای کروی صادق است. می توان نشان داد که متوسط تراکم انرژی جنبشی چنین است
و متوسط انرژی پتانسیل چنین
بنابر این متوسط تراکم انرژی کل بدين مقدار است
قسمتی از تراکم انرژی جنبشی موج کروی از مؤلفه سرعت ذره ای نتیجه می شود که با فشار همفاز نیست و شبیه توان راکتیو در مدار الکتریکی است و چون این انرژی از دستگاه به خارج منتقل نمی شود شدت موج کروی را نمی توان حاصلضرب تراكم 
در c دانست چنانکه در موج تحت عمل گردید. محاسبه نشان می دهد که شدت موج کروی برابر حاصلضرب در جمله اول معادله 7.264 است
که مشابه معادله متناظر آن برای موجهای تخت است. شدت موج کروی را می توان مقدار متوسط کار انجام داده شده در واحد زمان به وسیله واحد سطح موج کروی در محیط خارجی دانست و را بعله آن از این طریق ساده تر به دسته می آید. در هر شاره مقدار کار لحظه ای انجام شده به وسیله واحد سطح در واحد زمان برابر حاصلضرب فشار در سرعت است و متوسط آن در يك پريود کامل بدین عبارت است
که در آن شبیه ضریب توان راکتیو در مدار جریان متناوب است. چون 
است، دو معادله 7.27 و 7.284 معادل می شوند. ضریبی است که با فاصله شعاعی و فرکانس تغییر می کند، بنا بر این معادله 7.28 که در آن این ضریب خود نمایی نمی کند بیشتر به کار می رود. مقدار متوسط انرژی که در هر ثانیه از منبع موجهای کروی متقارن منتشر شده و از سطح کروی بسته به شعاع r محیط بر منبع به خارج منتقل می شود چنین است
و چون در معادله است،
بنابراین
چنانکه ملاحظه می شود انرژی منتقل شده از هر سطح کروی محیط بر منبع موجی، بستگی به شعاع کره ندارد و این نتیجه ای از اصل بقای انرژی است.
