مبانی آکوستیک
تارهای مرتعش
یخش دوم موجی بودن حل عمومی حل اختصاصی 
را در نظر میگیریم. اگر منحنی نمایش 
را در لحظه 
رسم کنیم ، معادله آن 
می شود، و به صورت منحنی a در شکل 2.3 نمایش داده می شود. در زمان دیگری مانند 
، معادله منحنی نمایش این تابع به صورت زیر است که با منحنی b نشان داده می شود. روشن است که منحنی تابع در لحظه مانند منحنی آن در است؛ با این تفاوت که هر مقدار از تغییر مکان y در x در لحظه در فاصله 
در لحظه به دست می آید. به سخنی دیگر، تغییر مکان 
در 
برابر 
در 
است اگر 0 
برابر باشد، و در این صورت 
می رساند که تمام منحنی در زمان يك ثانیه به اندازه c به سوی راست منتقل شده است. به طور کلی، اگر فرض کنیم موج با سرعت c در سمت راست یعنی در سوی مثبت x حرکت می کند، پس از زمان 
مسافتی برابر 
می پیماید، و می توان نوشت
یعنی اگر ناظری با سرعت c در جهت 
حرکت کند مقدار y را پیوسته به يك اندازه می بیند. همچنین می توان نشان داد که حل 
معرف موجی است که با سرعت c به سوی چپ یعنی 
حرکت می کند. موجی که در جهت پیشروی می کند موج پیشرونده، و موجی که در جهت به پیش می رود موج پسر و نده نامیده می شود. اولي را با تابعی از 
و دومی را با تابعی از 
نشان می دهند. باید گوشزد کرد که در هر يك از دو موج فوق با فرضهایی که برای مطالعه و یافتن معادله آن در نظر گرفتیم شکل موج ضمن انتشار پیوسته ثابت می ماند. ولی در عمل چنین نیست، وجود نیروهای مصرف کننده انرژی و کمی انعطاف تار سبب می شوند که شکل موج ضمن انتشار تغییر کند. هر چه نیروهای مالش کمتر و قابلیت انعطاف تار بیشتر باشد نتیجه های نظری با مشاهده های آزمایشی بیشتر تطابق پیدا می کنند. این مطلب در مورد سازهای موسیقی که با دامنه کم به ارتعاش در آینده صادق است. شرایط ابتدایی و مرزی تابع های و 
در عمل کاملاً اختیاری نیستند، بلکه با انواع گوناگون شرایط ابتدایی و مرزی محدود می شوند. در ارتعاش آزاد تار مرتعش، مشخصات ریاضی ابتدایی آنها یعنی قادیرشان به ازای به وسیله نوع تأثیر نیروی محرك و وضع نقطه اثر آن روی تار تعیین می شوند. مثلاً شکل ابتدایی موج حاصل در تار هنگامی که تحريك ضربه ای باشد مانند چگونگی ایجاد صدا در سیمهای پیانو یا وقتی که تحريك مضرابی باشد. مانند چگونگی ایجاد صدا در هارپ و گیتار و ویولن و نظایر آن، تغییر می کند. در نتیجه تابع های ابتدایی معرف شكل موج در آنها تفاوت می کند. از طرف دیگر این تابعها به وسیله شرایط موجود در مرز یعنی در دو انتهای تار مرتعش محدود می شوند. تارهای مرتعش در عمل دارای طول محدودند. در انتهای آنها معمولا بر دو گیره ثابت می شوند. هر گام نقاط اتکا روی گیره ها ثابت فرض شوند، مجموع تابع ها، 
، پیوسته در این نقطه ها برابر صفر خواهند بود. مهمترین تأثیر این نوع شرط مرزی این است که ارتعاش آزاد سیم تناوب پیدا می کند. سرانجام هنگامی که تار تحت تأثیر نیروی مؤثر تناوبی خارجی به ارتعاش در آید، در حالت پایدار تابع های 
و 
فرکانس نیروی مؤثر را دارا خواهند شد. ولی برخی از مشخصات آنها، مثلا دامنه، با وضع نقطه اثر نیروی مؤثر و شرایط مرزی تار در دو انتهای خود تعیین می شوند. باز تاب در مرز فرض می کنیم تاری به طول l در نقطه های 0 
و 
به دو گیره متکی و استوار شده باشد. در این حالت تابع های 
و 
کاملاً اختیاری نیستند، زیرا باید چنان باشند که مجموعشان در دو انتهای سیم پیوسته برابر صفر باشند. نخست انتهای چپ تار،
، را در نظر میگیریم؛ در این نقطه باید رابطه زیر برقرار باشد
چنانکه
و این می رساند که دو تابع بالا به يك شكل و مختلف العلامه هستند و در حالت کلی، در هر نقطه سیم معادله ارتعاش بدین صورت است :
شکل 2.4 نشان دهنده يك موج پیشرونده به سوی راست، و يك موج بازتاب به سوی چپ، 
است. موج بازتاب همشکل موج پیشرونده است ، ولی تغییر مکانش مخالف آن است. می توان چنین پنداشت که موج B پس از رسیدن به مرز در برخورد به آن به صورت موجی مشابه موج B و با علامت مخالف منعکس شده است.
شکل 4-2 در (a) خط چین ها موج B را نشان می دهند که منعکس شده و موج A را تشکیل داده است. شکل (b) برآيند این دو موج را نشان می دهد که در تغيير مکان برابر صفر است در مرز دیگر، ، نیز بازتاب دیگری رخ میدهد. یعنی موج A در پیشروی خود به سوی راست در برخورد به این مرز دوباره منعکس می شود و به صورت موجی مشابه ولی با علامت مخالف به سوی چپ انعکاس می یابد. نتیجه مهم این دو بازتاب، تناوب ارتعاش سیم است. آشفتگی موجود در نقطه پس از زمانی برابر 
به نقطه می رسد، ودر آن نقطه منعکس می شود. پس از زمان دوباره به نقطه مبدأ خود می رسد و زمان رفت و برگشت آن 
است و باز با همان شکل سابق خود پس از بازتاب در نقطه به حرکت خود ادامه می دهد. حالت تناوبی این موج با شرایط مرزی یعنی ثابت بودن دو انتهای سیم مشخص می شود. شرایط مرزی دیگر بازتاب خاص و تناوب خاص دیگری ایجاد می کنند.
