مبانی آکوستیک
ارتعاش های میله ها
بخش دوم حل معادله موج طولی. محل عمومی معادله 7-3 درست مانند حل معادله موج عرضی، و بدين صورت است
که در آن c سرعت انتشار موج و برابر جذر مدول سختی Y به چگالی حجمی،
، میله است
اینک برای معادله ی 3.7 يك حل مختلط هارمونيك فرض می کنیم :
که در آن A و B پایاهای دامنه مختلط و 
پایای طول موج است. قسمت حقیقی معادله بالا نیز شبیه معادله 2.10، متعلق به موج عرضی تار است. اگر میله را در دو انتهای خود ثابت فرض کنیم شرایط مرزی 
به ازای 0=x و 
در تمام زمانهای را در معادله موج به کار بریم عبارتی شبیه به آنچه در مورد تأر مرتعش کشیده شده و ثابت در دو انتها شرح آن گذشت، 2.8 ، به دست می آید. به کار بردن شرط مرزی به ازای 
در معادله بالا بين A و B این رابطه را به دست می دهد
و با این شرط معادلة مختلط موج بدین صورت خلاصه می شود
همچنین، این شرط که در ، رابطه زیر را به دست می دهد
ولی چون
معادله 3.11 را می توان به صورت مثلثاتی نوشت
یا
که همان معادله 2.14 در مورد سیم کشیده بین دو نقطه ثابت است. بنابراین، فرکانسهای نماینده مدهای ارتعاشی عبارتند از
که همان معادله های 
و 
هستند. تغيير مكان مختلط 
، مربوط به مد nام ارتعاش، با خلاصه کردن معادله 10-3 بدین صورت در می آید
که قسمت حقیقی آن چنین است
که در آن 
و 
پایاهای حقیقی دامنه ارتعاش هستند، و با معادله 3.14 با رابطه ی 
A به هم مربوط اند. حل کامل معادله موج، مجموع حلهای هارمونيك آن است، یعنی
اگر شرایط ابتدایی مربوط به تغيير مكان وسرعت میله معلوم باشند، با استفاده از قضیه فوریه می توان پایاهای و را به دست آورد؛ چنانکه در بخش 2.13 دیدیم. شرایط مرزی دیگر. چون میله، خود جسم جامد و محکمی است بر قرار ساختن شرایط مرزی فوق با به کار بردن پایه های محکمتر چنانکه دو سر میله کاملا بی حرکت بمانند خالی از اشکال نیست. ولی آزادگذاردن دو سر میله با قراردادن آن روی دو پایه فرم کاملا عملی است. در این حالت شرایط مرزی دیگری پدیدار می شود که مشابه آن را در تار مرتعش نمی توان یافت. هرگاه میله را در يك انتها آزاد فرض کنیم در آن نقطه نیروی الاستيك 
برابر صفر است، و می توان نوشت
یا
اگر میله را دوسر آزاد فرض کنیم، بکار بردن رابطه 
در معادله ی 3.9 به ازای رابطه زیر را به دست می دهد
و بنا براین
همچنین به کار بردن 
در معادله بالا به ازای ، رابطه دیگری به دست می دهد
چنانکه ملاحظه می شود، فرکانسهای مدهای ارتعاشی میله دوسر آزاد عينة مشابه فرکانسهای میله دوسر ثابت است که از معادله 3.12 به دست می آیند تغییر مکان مختلط مربوط به مد ارتعاشیnام چنین است
که در آن 
به جای 
است، و مد ارتعاشی دام با معادله ی زیر داده می شود
با مقایسه معادله بالا با معادله ارتعاشی nام در میله دوسر ثابت، 3.15 ، روشن می شود که در میله دوسر آزاد بر خلاف میله دوسر ثابت در نقطه انتهای میله شکم قرار دارد، در حالی که در میله دوسر ثابت در دو انتها گره هست. مقایسه این دو نوع ارتعاش در شكل 3.3 نمایش داده شده است اينك حالتی را بحث می کنیم که در آن يك انتهای میله آزاد، و انتهای دیگر کاملا ثابت و بی حرکت باشد. مثلا در نقطه آزاد و در نقطه محکم باشد. شرط اولی مرزی به معادله منجر می شود که اگر آن را در معادله 2.9 به کار ببریم معادله 3.17 به دست می آید. شرط مرزی دوم در ، منجر به می شود که اگر آن را در معادله 3.17 به کار ببریم این نتیجه حاصل می شود
فرکانسهایی که در رابطه بالا صادق هستند، از رابطه زیر به دست می آیند
یا
فرکانس هارمو نيك اصلی در این مورد نصف فرکانس هارمو نيك اصلي در ميله دو سر آزادی است که همان طول را داشته باشد؛ و نیز فقط هارمونیکهای فرد در آن ایجاد می شوند. یعنی فرکانس هارمونیك بعدی سه برابر فرکانس اصلی است. بدیهی است نبودن هارمونیکهای زوج در ميله دو سر آزاد زنگ صدای آن را تغییر می دهد.
شکل 3-3 الگوهای موج ایستاده در میله.
