مبانی آکوستیک
ارتعاش های میله ها
بخش ششم ميله دوسر آزاد. شرایط مرزی در دو انتهای میله دوسر آزاد با این روابطه ها نموده می شوند
به کار بردن این شرایط در نقطه 
بین پایاهای دامنه رابطه های زیر را برقرار می سازد
به کار بردن همان شرایط در نقطه 
، فرکانسهای آزاد ارتعاشی میله را به مقدارهایی محدود می سازد که در رابطه زير صادق باشند
چنانکه از شکل 3.7 نمودار است، فرکانسهایی که در رابطه فوق صادق هستند، بدین قرارند
چنانکه ملاحظه می شود، در میله دوسر باز نیز صوتهای فرعی هارمونيك فرکانس اصلی نیستند. جدول 2.3 مشخصات ارتعاشی میله دوسر آزاد به طول cm100 را نشان میدهد.
جدول 3.2. مشخصات ارتعاش عرضی میله دو سر آزاد
همچنين شكل 
و 
مدهای ارتعاشی دو نوع میله، ثابت آزاد و آزاد آزاد را نشان می دهد و می توان آنها را با هم مقایسه کرد. چنانکه در شکل b دیده می شود، مد ارتعاشی فرکانس اصلی و همچنین فرکانسهای دیگر فرد نسبت به نقطه وسط میله قرینه اند و 
در این نقطه صفر است و شکم حقیقی را نمایش میدهد. در صورتی که در فرکانسهای موج 
و 
و 
و غيره مدهای ارتعاشی نسبت به مرکز قرينه نیستند و خمش 
مرکز برابر صفر و نماینده گره حقیقی است.
شكل 3.8 . مدهاي عرضي ارتعاش میله.
بعلاوه در میله دوسر باز در فرکانسهای زوج و فرد توزیع نقاط گرهی نسبت به مرکز قرينه است ، وميله را می توان در هر يك از نقاط گرهی روی و تیغه ای ثابت کرد، بی آنکه مانع مد ارتعاشی که دارای همین گره است بشود. در سازی به نام کسیلوفون، میله ها را بر از پایه هایی استوار می کنند که در نقاط گرهی فرکانس اصلی میله ها تکیه داشته باشند. با این عمل نت های فرعی بزودی میر اشده و نت های اصلی خالص صدا می دهند. شرایط ابتدایی. دامنه های ارتعاش مدهای مختلف میله بستگی به چگونگی ایجاد ارتعاش در آنها دارد. همچنانکه در مورد ارتعاش عرضی تارهای مرتعش نیز چنین است و شرح آن گذشت. تعيين مقادیر آنها با روش سریهای فوریه که در 13-2 تشریح گردید، امکان پذیر است . هرگاه میله را تغییر شکل و.. ارتعاش دیاپازون شکل داده آن را رها سازیم ممکن است يكسری از تابعها به صورت معادله 42-3 در آن جستجو کرد که مجموع آنها نماینده شکل ابتدایی میله باشد، ولی چون فرکانسهای فرعی هارمو نيك فرکانس اصلی نیستند؛ میله دوباره به شکل ابتدایی خود باز نمی گردد، و در حقیقت حرکت میله تناوبی نیست تا زمانی که فرکانسهای فرعی میرا شده و تنها فرکانس اصلی باقی بماند. بحث تفصیلی این موضوع از حدود این گفتار خارج است.
مسائل 1 . میله ای به طول در يك سر خود، ، درگیر و سر دیگر، برای حرکت آزاد است. (a) معادله اساسی ارتعاشهای طولی هارمونيك را در باره آن نوشته شرایط مرزی را در آن به کار برید و فرکانسهای پیاپی آن را مشخص سازید. (b) نشان دهید که فقط هارمونیکهای فرد در آن پدیدار می شوند. (c) فرکانس اصلی میله را که به طول 5/0 متر و از فولاد ساخته شده باشد به دست آورید. (d) هرگاه نیروی F به سر آزاد میله وارد شده و آن را به میزان h از وضع تعادل منحرف سازد، نشان دهید که پس از رهایی میله از این نیرو، دامنه های ارتعاشهای هارمونیکهای مختلف آن با رابطه به دست می آید. (e) این دامنه های ارتعاش را در باره میله فولادی بالا برای 5000 نیوتون مشخص سازید، در صورتی که مقطع اصلی آن برابر 00005/0متر مربع باشد. 3.2 . رابطه ای معرف انرژی هدهای ارتعاشی میله در مسئله بالا به دست آورید. 3-3- میله ناز درازی به طول در يك سر خود په وسيله نيروی طولی رانده می شود و در سر دیگر آزاد است. (a) معادله ای که دامنه ارتعاش موجهای ایستاده میله را مشخص سازد به دست آورید. (b) امپدانس مکانیکی ورودی چنین میله به طول ! چه اندازه است؟ (c) امپدانس مکانیکی ورودی چنین میله ای به طول بینهایت چه اندازه است؟ (d) اگر تیغه از آلومینیوم و به طول 0/1 متر و مقطع اصلی آن 0.0001 متر مربع ودامنه نیروی راننده در آن 10 نیوتون باشد منحنی تغییرات دامنه را بر حسب تغييرات فرکانس از 200 تا 2000 سيكل بر ثانیه در نقطه تأثیر نیروی راننده رسم کنید. 3.4 يك سر میله ای به طول درگیر است، و در سر دیگر، ، با جرم m بار شده است. (a) این شرایط مرزی میله را در معادله 3.9 به کار برید، و معادله ای به دست آورید که به وسیله آن بتوان فرکانس اصلی ارتعاشهای طولی میله را محاسبه کرد. (b) هرگاه میله به طول 0.5 متر و به مقطع اصلی 0.0001 متر مربع و از فولاد ساخته شده باشد، فرکانس اصلی این دستگاه را حساب کنید؛ در صورتی که جرم بار 15/0کیلوگرم باشد. (c) هر گاه چنين میله ای به ارتعاش در آید چه نقطه ای از آن دارای دامنه ماکسیمم تغيير مكان طولی شواهد بود؟ 3.5 میله ای فولادی به مقطع اصلی 0.8 سانتیمتر مربع و طول 50 سانتیمتر در يك سر خود ، درگیر است، و در سر دیگر، ، با جرمی برابر 0.14 کیلوگرم بار شده. (a) با به کار بردن نتایج مسئله فرکانس اصلی ارتعاشهای طولی میله بار شده بالا را به دست آورید. در صورتی که با فرکانس اصلی به ارتعاش در آمده و دامنه تغییر مکان انتهای بارشده آن 002/0سانتیمتر باشد. (b) هنگامی که میله بالا با فرکانس اصلی خود به ارتعاش در آید و دامنه تغییر مکان در انتهای بارشده آن 002/0 سانتیمتر باشد، دامنه نیروی وارد در اثر بار 0.14 کیلوگرم را به دست آورید. (c) هر گاه به جای میله دستگاهی شامل فنری به همان سختی و همان جرم اختیار کنیم، که مانند نوسانگر ساده ای به ارتعاش در آید فرکانس آن را حساب کنید. 3.6 . جرم 2 کیلوگرمی را به انتهای سیم فولادی به مقطع اصلی 00001/0مترمربع و طول 0/1متر آویزان می کنیم. (a) هرگاه دستگاه را نوسانگر ساده ای فرض کنیم فرکانس اصلی نوسان قائم جرم را حساب کنید. (b) در صورتی که دستگاه را معادل میله ای فرض کنیم که در يك س ثابت و در سر دیگر بار شده و دارای ارتعاش طولی باشد، فرکانس اصلی نوسان قائم آن را با به کار بردن معادله ای که در مسئله به دست آمده حساب کنید. (c) نشان دهید که به ازای مقادیر معادله به دست آمده در مسئله تقريبا برابر معادله 1.5 است. 3.7 میله ای فولادی به مقطع اصلی 0.0001 متر مربع وطول 0.25 متر در يك سر خود، آزاد و در نقطه با جرم 0.15 کیلوگرم بار شده است. (a) فرکانس اصلی ارتعاشهای طولی میله بار شده بالا را حساب کنید. (b) موضعی از میله را تعیین کنید که اگر میله را در آن موضع ثابت کنند تداخل درمد اصلی ارتعاش حداقل باشد. (c) هنگامی که این تیغه با مد اصلی خود مرتعش باشد، نسبت دامنه های تغییر مکان ارتعاش را در سر آزاد میله و سر بارشده آن حساب کنید. (d) فركانس نخستین مد ارتعاش فرعی آن را به دست آورید. 3.8 . میله ای فولادی به طول 0.2 متر و جرم 0.04 کیلوگرم در يك سر خود با جرم 0.027 کیلو گرم و در سر دیگر با جرم 0.054 کیلوگرم بار شده است. (a) فرکانس اصلی ارتعاش طولی دستگاه را حساب کنید. (b) جای گره را در میله مشخص سازید. (c) نسبت دامنه های تغییر مکان را در دو سر تیغه حساب کنید. 9-3 میله نازکی به طول l و جرم M در يكسر خود ثابت و در سر دیگر آزاد است. چه جرمی به سر آزاد آن متصل کنیم تا فرکانس اصلی ارتعاش طولی آن در این حال 25 درصد نسبت به فرکانس حالت اول (يک سر ثابت – يك سر آزاد) كم شود؟ 3.10 رابطه ای به دست آورید که نماینده فرکانس اصلی میله ای به طول l و جرم m باشد، که يک سر آن درگیر و سر دیگرش آزاد باشد؛ در صورتی که میدانیم واکنش آن به علت درگیری، یعنی سختی آن در سر درگیر شده، معادل راكتانس مکانیکی است. 3.11 . نشان دهید که معادله ی در معادله ی 3.35 صادق نیست. 3.12 نشان دهید که دارای ابعاد سرعت است. به ازای چه فرکانسی سرعت ارتعاشهای عرضی میله آلومینیومی به قطر مقطع 0.01 متر برابر سرعت ارتعاشهای طولی آن خواهد بود. 3.13 . در معادله
فرکانس اصلی ارتعاشهای عرضی میله ای است که يك سر آن درگیر و سر دیگرش آزاد است. اگر دامنه ارتعاش آن در سر آزاد، ، برا بر a باشد، پایاهای A و B و C و D را بر حسب a مشخص کنید، در صورتی که طول میله برابر 100 سانتیمتر و دامنه ارتعاش در سر آزاد آن 5 سانتیمتر باشد شکل میله را با نمایش منحنی رسم کنید. 3.14 . میله ای فولادی به شعاع مقطع 0.005 متر و طول 0.5 متر در دو سر آزاد است. (a) فرکانس اصلی ارتعاشهای عرضی آن را حساب کنید. (b) هرگاه دامنه تغيير مكان مرکز ميله در مد اصلی ارتعاش 2.0 سانتیمتر باشد، دامنه ارتعاش دو سر آن چه مقدار خواهد بود؟ 3.15 . نشان دهید که نقطه های گرهی مد فرعی دوم میله دوسر آزاد هنگام ارتعاش عرضی همان است که در جدول 3.2 نشان داده شده، 3.16 . میله ای فولادی به شعاع مقطع 0.002 متر و طول 2 متر است. (a) فرکانس اصلی ارتعاشهای عرضی آن را هنگامی که دو سر آن آزاد باشد حساب کنید. (b) هرگاه دامنه تغيير مكان مرکز میله در مد اصلی ارتعاشی 2.0 سانتی متر باشد دامنه هر يك از دو انتهای آن چه اندازه است؟ (c) نشان دهید هنگامی که میله با مدل اصلی خود به ارتعاش در آید نقطه های گرهی آن با جدول 3.2 مطابقت دارند. 3.17. میله ای فولادی به طول 1.0 متر و شعاع مقطع 0.004 متر در دو انتها درگیر است. (a) فرکانس اصلی ارتعاشهای عرضی آن را حساب کنید. (b) هر گاه از تأثیر سختي الاستيك آن چشم پوشی کنیم، باید آن را تحت تأثیر چه کششی قرار دهیم تا فرکانس اصلی انتعاش عرضی آن تحت تأثیر نیروی برگردانند؛ آنها به مقدار فرکانس (a) باشد؟ 3,18. میله ای فولادی داریم به شعاع مقطع 0.004 متر و طول 0.4 متر که يك سر آن در گیر و سر دیگرش آزاد است. (a) نسبت فرکانسهای اصلی ارتعاشهای طولی و عرضی .آن را حساب کنید. (ط) هنگامی که میله دارای ارتعاشهای طولی در مد اصلی باشد، نسبت دامنه های تغییر مکان آن را در مرکز و انتهای آزاد حساب کنید. (c) اگر میله دارای ارتعاشی عرضی در مد اصلی باشد نسبت بالا چه اندازه است؟
