مبانی آکوستیک
موجهای آکوستیکی کروی
بخش سوم
تابش کروی از منبع ساده. از لحاظ نظری ، ساده ترین نوع منبع انتشار موجهای کروی کره تپنده است و آن کره ای است که شعاعش نسبت به زمان تغییر سینوسوئیدی داشته باشد. وضع تقارن چنین کره ای ایجاب می کند که در محیط يكنواخت و ایزوتروپ موجهای کروی هارمونيك در اطراف منبع ایجاد شود . با آنکه این نوع منبع بندرت استعمال دارد ولی بحث آن مفید به نظر می رسد؛ چه از يك طرف مقدمۀ ساده ای برای مطالعه منابع عمليتر به شمار می رود و از طرف دیگر با تقریب اول، بیشتر منابع بخش موج مانند کره تپنده عملی می کنند، منوط بر آنکه ابعاد آنها نسبت به طول موج صدای حاصل كوچك باشد . اگر شعاع متوسط کره تپنده راه و سرعت شعاعی هر نقطه از سطح آن را 
فرض کنیم می توان نوشت
که در آن 
دامنه سرعت سطح کره است. شکل مختلط معادله بالا بدین صورت است
سوای مواردی که در آن دامنه های سرعت زیاد و در نتیجه دامنه های فشار برابر یا بیشتر از فشار تعادل شارده باشند، می توان قبول کرد که شارۂ اطراف سطح کره تپنده در حرکت سطح پیوسته با آن در تماس باقی می ماند، و در نتیجه سرعت ذره ای موج آکوستیکی به شعاع a پیوسته برابر سرعت شعاعی سطح کره تپنده است، و این شرط مرزی با توجه به معادله 7.23 بدین عبارت معرفی می شود
که در آن 
امپدانس آکوستیکی ویژه موج کروی به ازای r=a است. در این صورت
اگر شعاع كره ی تپنده چنان كوچك فرض شود که در فرکانسهای مورد عمل 
باشد، عبارت بالا بدین صورت در می آید
بنابراین معادله فشار آکوستیکی بد ین عبارت معرفی می شود
قسمت حقیقی این عبارت
فشار حقیقی را در موج معرفی می کند. عبارتهای مختلط برای متغیرهای آکوستیکی دیگر را می توان از معادله های 7.15 تا 7.17 به دست آورد. مثلا سرعت ذره ای مختلط با معادله
مشخص می شود که در آن 
به r=a ازای است. معادله فشار 7.34 را ممکن است به صورت
نوشت که در آن مقدار
حاصلضرب سطح کره تپنده در دامنه سرعت است، یعنی
، و توانایی منبع کروی نامیده می شود، و واحد آن متر مکعب بر ثانیه است. بطور کلی، توانایی هر منبع که اجزای سطوح آن همفاز مرتعش شوند برابر سرعت حجمی ماکسیمم شاره متحرل آن در ثانیه است، و به عبارت زیر معرفی می شود
که در آن U بردار دامنه سرعت جزیی از سطح منبع dS است. در مورد منبعی که سطح آن يكنواخت مرتعش شود، و سرعت در تمام نقاط آن عمود بر سطح باشد، مانند کره تپنده معادله ی 7.37، به صورت 
در می آید. در موارد دیگر، که دامنه سرعت از حیث مقدار و از حيث امتداد از نقطه ای به نقطه ای دیگر تغییر می کند، توانایی منبع را باید از انتگرال حاصلضرب اسکالر بردار دامنه سرعت و جزء سطح ds سطح مر بوطه به دست آورد. وقتی طول موج صدای حاصل از منبع تپنده به میزانی بیش از ابعاد آن اختيار شودکه باشد، فشارهای آکوستیکی از فواصلی از منبع مانند 
برای تمام منابع که به يك توانایی باشند به يك مقدارند و بستگی به شکل منبع ندارند، و معادله 7.36 برای چنین منبع ساده ای صادق است. مثلا دهانه باز يك لوله ارگی یا ساز بادی در برابر طول موج به میزانی کوچک است که می توان آن را منبع ساده ای گرفت که معادل پیستون ساده ای به همان توانایی باشد. شدت موجهای آکوستیکی که از منبع ساده کروی منتشر می شوند بدین مقدار است
توان متوسط تا بش از سطح کروی بسته به شعاع r برابر حاصلضرب شدت موجود به فاصله شعاعی r در سطح کره است
دیوار بیکران. مشخصات تابش 
منبع صوت با بودن سطح وسیع سختی در جوار منبع تغيير می یابد. مثال مهمی از این وضع کار گذاردن منبع صوت است، در سطح دیوار تخت بینهایتی که «دیوار بیکران» نام گرفته و در آن تابش تنها از يك طرف سطح دیواره امکان پذیر است. منبع نیمکره شکلی که در يك دیوار بیکران کارگذارده باشند مثال خوبی برای این مورد است شکل( 7.5). وضع قرینه ای دستگاه ایجاب می کند که فشارهای آکوستیکی تابش در طرفی از سطح دیواری که نیمکره قرار دارد مشابه باشند با فشارهای آکوستیکی که منبع کروی شکل به همان شعاع، همان فرکانس و همان دامنه سرعت آزادانه منتشر می سازد، ومعادله 7.34 را می توان برای معرفی مشخصات تابش منبع نیمکره ای شکل به کار برد. هرگاه مشخصات منبع را برای دامنه سرعت با توانایی آن معرفی کنیم مسلم است که توانایی منبع نیمکره ای برابر نصف توانایی منبع کسروی به همان شعاع و همان دامنه سرعت عذاشته شده است است، یعنی 
. چون مقدار را از آن در معادله 7.34 قرار دهیم فشار آکوستیکی نیمکره در دیواری بیکران به دست می آید
که دو برابر فشار آکوستیکی منبع کروی به همان توانایی
است. همچنین هر منبع ساده ای به توانایی که در دیوار بیکرانی کار گذارده باشند، میدانی از صوت ایجاد می کند که فشار آکوستیکی آن را می توان از معادله 7.40 حساب کرد. شدت موجهای واگرا که از چنین منبع صوتی منتشر می گردد بدین مقدار است
و توان آکوستیکی آن 
بدین رابطه است
تابش از يك پیستون. عموما تا بش حاصل از ارتعاش يك سطح وسیع دارای ویژگیهای تابش کروی نیست. ولی فشار آکوستیکی موجود در هر نقطه را می توان حاصل جمع فشارهایی دانست که به وسيله منبعی معادل مجموعه ای از منابع ساده، ايجاد شده باشد. مثلا هر سطح بینهایت كوچك dS از سطح كل مرتعش را می توان منبع ساده ای فرض کرد که در هر يك دیوار بیکرانی کار گذارده باشند، و از نقطه ای به فاصله r از آن فشاری برابر
ايجاد می کند، و می توان نوشت
از لحاظ نظری معادله فشار در هر نقطه از محیط از انتگرال رابطه بالا برای تمام سطح منبع به دست می آید . اشکالات ریاضی در حل این انتگرال مسئله را به چند مورد خاص ولی مهم محدود می سازد. یکی از انواع مهم منابع تابنده با سطح وسیع که کاربرد فراوان دارد پیستون دایره ای سختی است که در يك ديوارك بيکران کار گذارده و با ارتعاش ساده هارمونيك، به معادله 
به نوسان در آورند . حل این مثال خاص در موارد بسیاری استعمال دارد؛ از جمله تابش از دهانه باز لوله ارگی. در این بحث مهم نیست که عامل مرتعش پیستون باشد با لایه ای دایره ای از هوا؛ بنا بر آنکه تمام قسمتهای لایه با يك دامنه، يك فرکانس و يك فاز به ارتعاش در آیند. در عمل این شرایط در مورد لوله کاملا وجود ندارد چه دامنه ارتعاش هوا نزديك به لبه و دوره لوله کمتر از دامنه ارتعاش مرکز آن است، ولی با تقريب اول می توان این لایه را از حیث تابش معادل پیستون سخت، فرض کرد. فرض کنیم شعاع پیستون a وسطح مرتعش آن در صفحه yz و مرکز آن منطبق بر مبدأ مختصات باشد، در این صورت تابش نسبت به محور x حالت تقارن دارد و وضع هر نقطه از حيث تابش با مختصات کروی r، یعنی فاصله شعاعی از مرکز پیستون و زاویه بین شعاع حامل و محور x قابل معرفی است (شکل 7.6). همچنین اوضاع نقاط صفحه پیستون را می توان با مختصات قطبی 
و 
يعني فاصله شعاعی هر نقطه از مرکز پیستون و زاویه بین شعاع حامل آن نقطه با محور و مشخص کرد. چون سطح ابتدایی ds به مقدار
در نظر گرفته فاصله آن 
را از نقطه در محیط r فرض کنیم فشار آکوستیکی تابش توسط ds در این نقطه بدین معادله است
چون حرکت هر سطح ابتدایی پیستون عمود بر سطح پیستون گرفته شده است حاصلضرب U.ds در معادله 7.43 با 
معرفي شده است و فشار کل وارد به نقطه P به وسيله تمام اجزای سطح پیستون انتگرال معادله بالا برای تمام سیلم بیستون است .
شکل 7.6 دستگاه مختصاتی که برای به دست آوردن مشخصات تابشی پیستون مسطح به کار می رود. فاصله r برحسب r و و زاویه های 
و بدین مقدار است
اگر مقدار 
را در معادله 7.44 قرار دهیم رابطه مفصل و انتگرال آن غیرقابل حل می شود؛ ولی در موردی که فاصله نقطه از مرکز پیستون با مقایسه با شعاع پیستون زیاد باشد، می توان مقدار تقریبی ‘ را که از بسط سری معادل 7.45 و انتخاب دو جمله از آن به دست می آید به کار برد
در فاصله های دور از پیستون دامنه فشار حاصل از يك سطح ابتدایی اختیار شده در سطح پیستون با فشار حاصل از هر سطح ابتدایی دیگر تفاوت جزیی دارد. چنانکه می توان به جای و در مخرج معادله 7.44 جمله اول از سری 7340a را به کار برد. از طرفی دیگر فاز نسبی فشارهای حاصل در نقطه توسط دو سطح ابتدایی در فاصله های دور از پیستون فقط بستگی به اختلاف فاصله های آن دو از نقطه P دارد و به خود r بستگی ندارد. نتیجه آنکه در عامل فاز معادله 7.44 به جای باید لااقل دو جمله از بسط آن (معادله 7.45a) را به کار برد. بنابراین در فاصله های دور از پیستون با تقریب های بالا معادله فشار تابش توسط سطح ابتدایی ds بدين عبارت خلاصه می شود.
جمله ی 
را می توان با بسط سری بر حسب ( 
) و انتگرال جمله به جمله آن محاسبه کرد و نتیجه آن برابر 
می شود . همين نتیجه را با به کار بردن رابطه عمومی زیر از خواص توابع بسل می توان به دست آورد
انتگرال دوم معادله 7.46 را نیز می توان با به کار بردن رابطه 
که در جدول 4.1 آمده است حل کرد. در نتیجه
اگر حل انتگرال بالا را در معادله 7.46 قرار داده خلاصه کنیم، مقدار مختلط فشار بدین عبارت در می آید
که قسمت حقیقی آن مقدار فشار موجود در نقطه را معرفی می کند عبارتهای مربوط به سرعت لحظه ای تغییر مکان و غیره را می توان از رابطه های معمولی موجود بین فشار و متغیرهای دیگر آکوستیکی به دست آورد.
