مبانی آکوستیک
تارهای مرتعش
بخش سوم حل معادله موج به صورت هارمونيك ساده یکی از انواع مهم حرکتهای تناوبی که در طبیعت وجود دارند حرکت هارمونيك ساده است، که نمونه های کامل آن را در ارتعاش تار مرتعش می توان بررسی کرد. هر نوع ارتعاش حاصل از سیم را، هر چند در هم باشد، می توان به ارتعاشهای ساده هارمونيك تجزيه کرد. گوش انسان نیز توانایی تجزیه صوتهای گوناگون را دارد، و بر اساس همین خاصیت گوش است که انسان می تواند کیفیت صوت نت واحدی را در سازهای گوناگون از هم تمیز دهد. مثلا گوش إختلاف بین نت نواخته شده به وسیله پیانو و همان نت نواخته شده به وسیله زنگی را کاملاً تمیز می دهد. اگر فرکانسهای موجود در صوتی مضر بهای صحیحی از يك فرکانس اصلی باشند، مانند صوت سیم پیانو، آن صوت به گوش خوش آواتر از موردی می آید که این خاصیت ریاضی بین فرکانسهای آن موجود نباشد؛ مانند صوت حاصل از زنگ. جابجایی هر نقطه از تاری را که با حرکت هارمونيك ساده ارتعاش می کند، و فرکانس زاویه ای آن 
است به صورت کلی زیر می توان نمایش داد؛ این مطلب با قراردادن آن در معادله کلی موج سیم (2.5) تأیید می شود
که در آن 
و 
و 
و 
و يا پایاهای اختیاری، و
پایایی است به نام پایای طول موج که، با رابطه زیر مشخص میشود
اگر انتهای تار در نقطه 
ثابت باشد، معادله 2.10 در این نقطه بدین صورت است 
که باید به ازای تمام مقادیر t بر قرار باشد. در نتیجه، ضريبهای سینوس وکوسینوس صفرند،
یا
که همان نتیجه ای است که از محدودیت حاصل از شرایط مرزی به صورت معادل 2.8 از حل کلی معادله 2.6، به دست می آید. یعنی دو موج معرفی شده با دامنه های و و یا و باید در نقطه مساوی و مختلف العلامه باشند یعنی اختلاف فازی برابر 
پیدا کند. با این شرایط، معادله 2.10 بدین صورت در می آید
که پس از اختصار می توان نوشت
چنانکه ملاحظه می شود، و به صورت حاصل ضرب دو جمله از آن دو است که یکی فقط به زمان و دیگری فقط به جای نقطه ارتعاش کننده، یعنی ، بستگی دارد. اگر این شرط مرزی را که به ازای تمام مقدارهای t ، در نقطه ی
،
است در معادله بالا به کار ببریم، محدودیت دیگری نمودار می شود
و این می رساند که k به مقدارهایی محدود می شود که در آنها حاصل 
پیوسته مضرب کاملی از 
باشد
و در نتیجه سیم با فرکانسهای محدودی مرتعش می شود، که در این رابطه ها صادق باشند
و یا
موج های ایستاده. شرایط مرزی و حل کلی موج هارمونیک 10-2 را به مجموعه ای از موج های ایستاده که صوت کلی آنها معادله 2.13 است تبدیل می کند. معادله معرف کمترین فرکانس، یعنی وقتی که 
است، بدین صورت است : .:
که در آن 
و 
و 
به جای 
و 
گذارده شده اند، مقدارهای و با كمك شرايط ابتدایی؛ يعني چگونگی تحريك، تعیین می شود. این من ارتعاش را هارمونیك اصلی و فرکانس آن 
را فرکانس هارمونيك اصلی یا هارمونيك يكم می نامند. همچنین مد ارتعاش معرف هارمونيك n ام با این معادله معرفی می شود:
که در آن 
و 
پایاهایی هستند که با شرایط ابتدایی تعیین می شوند، و
عبارت است از n برابر فرکانس هارمو نيك اول. چنانکه از معادلة 2.16 هویداست، نقاطی از تار که فاصله آنها از مبدأ، ، در رابطه 
صادق باشند ساکن اند یعنی در آنها 
است. این نقاط بسا این رابطه مشخص می شوند
نقاط معرف 
و 
مربوط به دو انتهای سیم هستند، و بين آن دو 
نقطه ساکن، مربوط به هارمو نيك nام نیز ساکن اند؛ چنانکه در شکل 2.5 مربوط به 
هارمونيك چهارم نمودار است.
شکل 5-2 موج های ایستاده برای هارمونیك چهارم،
این نقطه ها را نقطه های گرهی یا به اختصارگره موج ساکن می نامند. در هريك از این نقطه ها، موج پیشرونده به سوی راست به وسیله موج بازتاب به سوی چپ خنثا می شود، و پیوسته بی حرکت میمانند؛ یعنی دامنه ارتعاش آنها همیشه صفر است، و به همين مناسبت است که موج را ایستاده می گویند. فاصله بین هر دو گره در هارمونيك nام برابر 
است. نقطه های دیگری با دامنه ماکسیمم نیز به فاصله های پیاپی موجودند که آنها را پادگره یا شکم خوانند، و به فاصله های
از گره های مجاور قرار دارند. طول موج در موج های هارمو نيك. اگر معادله کلی موج هارمونيك ساده 2.10 را هنگامی که تار با هارمونيك nام خود ارتعاش می کند در نظر بگیریم، هر يك از جمله های آن نماینده جرکت هارمونيك ساده ای با فرکانس n برابر فرکانس هارمونيك اصلی است. مثلا جمله 
را می گیریم و در آن به جای 
و 
به ترتیب 
و 
قرار می دهیم، این عبارت خواهد شد :
که نشان دهنده این است که در هر نقطه معين، یعنی با x ثابت، ارتعاش هارمونیکی با دامنه و فرکانس
موجود است. همچنین سه جمله دیگر معادله 2.10 نماینده ارتعاشهای هارمونیکی با همان فرکانس و با دامنه های ، و هستند که نتیجه آنها نیز نماینده ارتعاشهای هارمونیکی با همان فرکانس و با دامنه مشخص است که از هر نقطه تا نقطه دیگر فرق می کند. در گرهها مقدار آن صفر و در شکمها ماکسیمم است.
شکل 2.6. طول موج برای هارمونيك پنجم،
حال اگر توجه خود را از حرکت يك نقطه تنها در زمانهای مختلف بازداشته به وضع تمام نقاط در هر لحظه معطوف داریم، مکان آنها در هر لحظه منحنی جیبی را نشان می دهد که در شكل 2.6 نمودار است، و نمایش تغییرات تابع فوق بر حسب x است. و در آن دوره های به فاصله های مساوی به نام طول موج تکرار می شوند و با سرعت انتشار موج c با این رابطه بستگی دارد
که در آن 
فرکانس هارمونيك nام است، و با پایای طول موج با رابطه 
را بستگی دارد. اگر را از معادله ی 
در رابطه بالا قرار دهیم طول موج مربوط به هارمونيك n ام برحسب طول سیم به دست می آید
چنانکه ملاحظه می شود، طول موج در برابر فاصله بین دو گره یا بین دو شکم پیاپی است.
