مبانی آکوستیک
تارهای مرتعش
بخش چهارم نت های فرعی و هارمونيك ها. چنانکه گفته شد، کمترین فرکانس يك دستگاه مرتعش را فرکانس اصلی آن می نامند؛ فرکانسهای مدهای دیگر ارتعاش را نتهای فرعی می گویند. از معادله 
پیداست که در يك سيم استوار شده روی دو پایه ثابت، فرکانسهای همه نتهای فرعی مضربی از فرکانس اصلی هستند. نتهای فرعی را که دارای این خاصیت باشند هارمونیك می نامند، و فرکانس اصلی را هارمونيك اول می خوانند. نتهای فرعی در همه دستگاههای مرتعش چنین خاصیتی ندارند، و در دستگاههای معدودی نتها هارمونيك هستند، و بیشتر اسبا بهای موسیقی جزء این دستگاهها محسوب می شوند. شرایط ابتدایی حل عمومی هارمونيك در تار استوار شده روی دو پایه ثابت، مجموع مدهای ارتعاش جداگانه آن است که با معادله 2.16 نمایش داده شده ، و آن را بدین صورت می توان نوشت:
که در آن 
و 
ضریب های مربوط به دامنه ها هستند، و چگونگی به ارتعاش در آوردن سیم در محاسبه آنها دخالت دارد. دامنه ارتعاش مد nم بدین صورت است:
فرض می کنیم در لحظه
سیم از حال عادی وخطی خارج شود، چنانکه تغییر مکان و سرعت لحظه ای هر نقطه سیم با تابع های زیر نمایش داده شوند:
چون معادله 2.19 وضع سیم را در تمام زمانها مشخص می سازد، پس در لحظه مقدار آن نماینده 
است
و مشتق آن به ازای نماینده خواهد بود
چنانکه ملاحظه می شود، تابع های و 
را به صورت سریهای فوریه به جمله های سینوسی هارمونيك تجزیه شده اند. ضریب های و را با همان روابطی که در سری فوریه گفته شد، در بند 1.12، می توان به دست آورد
تحریک مضرابی و ضربه ای . برای تشریح چگونگی یافتن ضریب های و مقادیر آنها را در مورد سیمی که با مضراب به ارتعاش در آید با روش فوق به دست می آوریم. در تحريك مضرابی سیم، نقطه برخورد به مضراب از حال تعادل خارج شده و آزاد رها می شود. در این صورت برای تمام نقاط سيم صفر و در نتیجه ضريب های نیز صفر خواهند بود. فرض می کنیم مضراب به نقطه وسط سیم برخورد کند و آن نقطه را به اندازه bاز حال تعادل خارج سازد. در این صورت برای نقاط واقع بین 
و 
برابر
، و برای نقاط واقع بین و 
برابر
است. بنابراین ضریب های بدین طریق محاسبه می شوند
یا
و از آن
و
مقادیر دامنه های مدهای گوناگون ارتعاشی هارمونیك سیم را مشخص می سازند ، و در این مورد هارمونیکهای زوج، یعنی 
و… و غيره، صفر ند و سیم با فرکانسهای مضارب زوج فرکانس اصلی ارتعاش ندارد. حذف این هارمونیکها مربوط است به موج های ایستاده ای که در مرکز گره دارند. به طور کلی در نقطه برخورد مضراب، هنگام ارتعاش سیم، گره موجود است؛ و هارمونیکهایی که دارای این گره باشند حذف می شوند. بعلاوه، ملاحظه می شود که هر چه به هارمونیکهای دورتر برویم دامنه کم می شود. مثلا در مورد فوق 
دامنه هارمونيك يكم يا صوت اصلی، 9 برابر دامنه هارمو نيك سوم 
و 25 برابر هارمونيك پنجم 
است. اگر تحريك ضربه ای باشد، یعنی سیم به وسيله چكش به ارتعاش در آید مانند چکش کلیدهای پیانو که پس از وارد ساختن ضربه به سیم در حال تعادل و ایجاد سرعت اولیه در آن، به عقب برگشته و سیم را آزاد می گذارد. در این صورت برای تمام نقاط صفر است، و در نتیجه ضریب های نیز صفر میشوند. ولی مشخص است و به وسيله آن می توان مقادیر را از رابطه 
محاسبه کرد. در این مورد نیز هارمونیکهایی حذف می شوند که هر ارتعاش آنها گرهی در نقطه برخورد داشته باشد. با تغيير نقطه برخورد و انتخاب جای مناسب می توان هارمونیکهای مورد نظر را حذف کرد. مثلاً، در پیانو نقطه برخورد چکشها را روی سیم به فاصله 7/1 در مبدأ سیم قرار میدهند، تا هارمونیك هفتم که اختلاط آن با سایر هارمونیکها نامطلوب شناخته شده است حذف گردد. در واقع، شرایط ابتدایی ارتعاش سیم با تحريك ضربه ای به عوامل دیگری مانند نرمی و سختی چکش و پهنای برخورد آن، و نیز نیروی برخورد و جرم چکش و چگالی خطی سیم بستگی دارد؛ و سیب می شود که در لحظه برخورد کاملاً صفر نباشد. تجزیه و تحلیل این موضوع از نظر ریاضی از بحث ما قبلا خارج است.
