مبانی آکوستیک
ارتعاش پوسته های گرد و ورقه ها
بخش اول ارتعاشهای یک صفحه تخت. ارتعاشهایی که تا کنون در فصلهای پیش مورد بحث قرار گرفتند همه يك بعدی بودند، یعنی چه طولی و چه عرضی تغییر مکان هر نقطه از جسم مرتعش تابعی از زمان و وضع آن نقطه در امتداد يك محور معین بود. این در این فصل ارتعاشهای دو بعدی را مورد مطالعه قرار می دهیم، یعنی ارتعاشهای دستگاههایی که در آنها ارتعاش هر نقطه بستگی به وضع آن نسبت به دو محور داشته باشد. در این دستگاهها از انواع مختلف ارتعاش، از مدهای ارتعاشی ساده پوست نقاره گرفته تا ارتعاشهای پیچیده صفحات کلادنی، وجود دارند. در این فصل تنها به دو نوع آن که مولدهای الکترو آکوستيك اهمیت خاص دارند اکتفا می گردد. یکی پوسته گرد است که از اطراف بطور یکنواخت کشیده شده باشد و در آن نیروی برگرداننده وابسته به سختی در برابر نیروی برگرداننده وابسته به کشش قابل چشم پوشی می باشد. نمونه های آن پوسته کشیده شده روی دهانه نقاره یا دیافراگم میکروفونهای خازنی است. دیگری ورقه نازك گرده است که عامل اصلی ارتعاش آن سختی جسم است. از نمونه های آن دیافراگمهای گوشی و دهانی تلفنهای معمولی و همچنین صفحات فولادی بعضی از انواع تراگذارهای صوتی را می توان نام برد. . تجزیه و تحلیل ارتعاشهای عرضی در پوسته يا ورقه دشوارتر از ارتعاشهای عرضی يك بعدی در تار مرتعش وميله مرتعش است. در تار مرتعش عبارتی که معرف تغییر مکان هر نقطه نسبت به زمان است به صورت تابع سینوسی و مشابه تابع معرف شكل تار در هر لحظه است، در صورتی که تابع معرف تغییر مکان هر نقطه از پوسته ارتباطی با تابع معرف شكل پوسته در حین ارتعاش ندارد. در تار یا میله مرتعش شرایط مرزی، فرکانسهای آزاد دستگاه را به شماره های معینی محدود می سازد. در پوسته و ورقه مرتعش نیز چنین است ولی شرایط ابتدائی و مرزی در این موارد نه تنها به نوع پایه بستگی دارد بلکه به شکل منحنیهای آنها نیز مربوط است. معادله موج عرضی برای يك پوسته کشیده شده. قبل از به دست آوردن معادله موج برای ارتعاشهای عرضی پوسته کشیده شده، باید تصمیم گرفت که مختصات نقاط مورد نظر از پوسته را در چه دستگاه مختصاتی مشخص کنیم. ظاهرة نتایج در مختصات مختلف متفاوت به نظر می رسد، ولی با تبديل يك مختصات به مختصات دیگر، می توان نشان داد که هر دو به يك نتیجه منتهی می شوند. در بحث مفصل معادله موج در مثالهای مورد نظر استعمال مختصات قطبی مناسبتر است، ولی معادله موج در مختصات دکارتی ، که در آن جابجایی عرضی از هر نقطه با رابطه
مشخص می شود، ساده تر به دست می آید. اينك معادله موج را برای نقطه ds از پوسته مستطیل شکل به ابعاد dz و dx به دست می آوریم. پوسته را قابل ارتجاع و یکنواخت بدون میرائی و ارتعاش آنرا با دامنه کم در نظر می گیریم و همچنین بسیار نازک که بتوان از سختی آن صرفنظر کرد. چگالی سطحی آن را بر حسب کیلوگرم بر متر مربع 
، و توزیع کشش آن را در امتدادهای مختلف یکنواخت و بر حسب نیوتن بر متر T در نظر می گیریم. چون پوسته بطور یکنواخت کشیده شده اسسته بنا بر این دو قسمت از پوسته که در دو طرف خط
قرار دارند نیرویی برابر Tds به یکدیگر وارد می کنند. اولین هدف ما یافتن رابطه ای است که نیروی برگرداننده مؤثر وارد بر پوسته را در حال انحراف از حال تعادل به دست دهد (شکل 4.1 ). در این حالت نیز نیروی وارد بر جزء سطح dx dz وابسته به کشش دوطرفه مانند آنچه که در Tdz به همان روش که در قسمت 2.3 برای به دست آوردن نیروی عرضی وارد بر يك قطعه از تار مرتعش به کار بردیم به دست می آید:
و همچنین نیروی برگرداننده مربوط به کشش دوطرفه Tdx برابر 
است. از برابر قراردادن مجموع این دو نیرو با حاصلضرب جرم جزء سطح، 
، در شتاب آن 
خواهیم داشت :
یا
که در آن
با قراردادن مستقیم
= f (ct – r cos 0 – 2 sin 0) در معادله موج دو بعدی ( 4.2 ) معلوم خواهد شد که معادله 4.4 يك حل عمومی معادله دو بعدی 4.2 است. این حل معرف يك موج موازی است که در امتداد محوری که با x زاویه 
می سازد با سرعت c در پوسته منتشر می شود. صورت هارمونيك معادله 4.4، که برای بحث موجهای متناوب بر روی يك پوسته چهار گوش کشیده شده مناسب باشد چنین است
که در آن پایاهای 
و 
چرا باید در رابطه زیر صادق باشند
و خواننده می تواند با قراردادن معادله a4.4 در معادله 4.2 آن را به دست آورد. بعلاوه، 
و 
معرف کسینوسهای هادی جهت انتشار موج با محورهای x و z هستند. اگر يك يا دو علامت منفی معادله موج را مثبت در نظر بگیریم به ترتیب سه حل دیگر مشابه حلa 4.44 برای معادله موج به دست می آوریم که همگی دارای و را یکسان می باشند. این چهار معادله که نماینده موجهای موازی هستند همگی ازيك موج اصلی در اثر بازتابهای پیاپی به چهار موز خود، به وجود آمده اند. به عنوان مثال، فرض می کنیم که مرزهای يك پوسته کشیده شده در طول خطهای 
، 
، 
و 
، قرار داشته باشند. به کار بردن شرط مرزی 
در طول این خطها در تمام لحظات t ، برای مجموع چهار معادله بالا که در بالا بحث شد ، به این نتیجه منجر می گردد
شکل 1-4- المان یک پوسته ی مرتعش
شکل 2-4 مدهای ارتعاش يك پوسته مستطيل.
که در آن Y دامنه ی ماکسیمم تغییر مکان عرضی ، و
این دو معادله، و ، همنه های پایای طول موج را به همان مقادیر صحیحی محدود می کند که معادله 2.14 برای پایای طول موج k در تار کشیده شده محدود ساخت. این محدودیت به نوبه خود فرکانسهای مشخصی را برای مدهای ارتعاشی مجاز آزاد که با معادله 4.4b داده شده است به معادله زیر محدود می سازد.
فرکانس اصلی به ازای 
و 
به دست می آید. مدهای فرعی به ازای 
هارمونیکهای فرکانس اصلی هستند، ومدهای فرعی به ازای 
n هارمونیکهای فرکانس اصلی نیستند. شكل 4.2 شماره ای از مدهای ارتعاشی ممکن را در پوسته چهارگوش نشان میدهد. سطوح سفید معرف ارتعاشاتی است که ° 180 با ارتعاشهای سطوح هاشور زده اختلاف فاز دارند. چون خطهای گرهی خطهایی هستند که در آنها تغییر مکان صفر است، می توان پوسته را بر پایه هایی مستقر بر این خطها استوار کرد بدون اینکه در مدهای ارتعاشی پوسته اختلالی پدیدار شود.
