مبانی آکوستیک
موجهای آکوستیکی کروی
بخش پنجم
شدت صوت در نزدیکی منبع پیستونی، در قسمتهای پیش بحث ما در باره فشارها و شدتهای آکوستیکی تابش از منبع پیستون به موردهایی محدود بود که فاصله های نقاط از منبع نسبت به شعاع پیستون زیاد گرفته شده باشد. در این موردها بحث ریاضی آن شبیه به پراش فراو نهوفرا در عبور از يك روزنه دورانی بود. در صورتی که توزیع فشار و شدت در نزدیکی منبع پیستون مرتعش شبیه به پراش فرنل است، که با در نظر گرفتن مناطق نیم پریود مطالعه می شود؛ چنانکه در 7.9 گوشزد شده است. بحث ریاضی حالت عمومی فشار و شدت در نقطه های نزديك منبع صوت مشکل است، بدین سبب مطالعه خود را به حالت خاص نقاط واقع بر محور پیستون دایره ای شکل محدود می سازیم. در این نقاط 
ومعادله 7.44 بدین صورت نوشته می شود
و انتگرال آن برای تمام نقاط سطح پیستون بدین عبارت خلاصه می شود
مقدار حقیقی تابع بالا فشار تابش را در نقطه ای بر محور به فاصله r از مرکز پیستون معرفي می کند که از آن می توان مقدار 
محاسبه کرد
در مرکز سطح پیستون، که 0=r است، شدت چنین است
چنانکه از معادله بالا هویداست فشار و شدت در مرکز پیستون به ازای
برابر صقر است، که در آن n عدد صحیح است، همچنین شدت در نقاطی از محور به فاصله های r که در این رابطه صدق کند صفر است
بزرگترین مقدار r که در رابطه بالا صادق است به ازای n=1 به دست می آید. اگر به جای k مساوی آن
را قرار دهیم معادله 7.65 بدین رابطه منجر می شود اگر فرکانس به میزانی کم گرفته شود که از 
باشد، این معادله حل حقیقی ندارد؛ بنابراین شدت فقط به ازای
صفر می شود. در فرکانسهای بالا که 
باشد، می توان معادله 7.66 را به رابطه تقریبی زیر تبدیل کرد
بالاخره در فاصله هایی از پیستون که نسبت به شعاع آن زیاد گرفته شده باشد معادله 7.64 به صورت زیر خلاصه می گردد
که مشابه شدت محوری به معادله 7.56 است . یاد آوری می کنیم که عموما شدت محوری نزديك سطح پیستون تغییرات وسیعی می کند. با افزایش فاصله از سطح پیستون شدت از یک سری ماکسیمم با دامنه ثابت که بینشان نقاط شدت صفر موجود است می گذرد. آخرین صفر شدت در نقطه ای به فاصله 
از مرکز پیستون قرار دارد. با گذشتن از این فاصله شدت به آخرین ماکسیمم خود می رسد و از آن پس به ازای 
به نسبت عکس مربع فاصله نزول می کند. معادله هایی که در 7.9 تا 7.11 معرف واگرایی کروی تابه صوتی به دست آمدند فقط در فواصلی بیش از 
صادقند، و برای فواصل کمتر از 
8 صوت تابش شده را می توان استوانه ای به شعاع a تصور کرد ، در صورتی که در فواصل بیشتر تقريبا تابش کروی موجود است. شكل 7.9 نمایش تقریبی این مطالعه را به ازای 
همراه با چگونگی تغییرات شدت محوری بر حسب فاصله ۴ نشان می دهد، و به سبب این اختلالات در شدت صوت در فواصل بسیار نزديك به منبع بزرگ، مانند بلندگو و تراگذار ، اندازه گیری تابش آكوستيك به وسیله میکروفون با نهادن آن در نزدیکی صفحه مرتعش میسر نیست.
واکنش در پیستون مرتعش. در قسمتهای پیش بحث در باره فشار و شدت موجهای آکوستیکی منتشر در شاره ای بود که به وسيله يك صفحه مرتعش پدید می آمدند ، و فرض بر این بود که دامنه و فرکانس ارتعاش در آن ثابت باشند . در عمل اغلب با نیروی راننده با توان مولد در دست است و معمولا دامنه ارتعاش تابعی از فرکانس است. در نوشتن معادله دیفرانسیل حرکت نیروی راننده نه تنها ثابتهای دینامیك دستگاه : مانند چرم، سختی و مقاومت مکانیکی آن وارد می شوند، بلکه نیروی واکنش شاره بر صفحه دستگاه نیز دخالت می کند. در اینجا نیز مانند بحث قبل مطالعه ما به واکنش بر صفحه پیستون دایره ای که در دیوار بیکران کار گذارده باشند محدود می گردد، ولی حل آن در بسیاری از موارد دیگر نیز مفید واقع می شود. سطح بینهایت كوچك ds از پیستون را اختیار می کنیم که فشار تابش ارتعاش آن در شارة مجاور سطح بینهایت کو چك دیگری مانند ‘ds از پیستون برابر dp فرض شود. مجموع فشار p شاره محیط بر سطح ‘ds با انتگرال معادله 7.44 به دست می آید
که در آن r فاصله بین ds و ‘ds در سطح پیستون است. بنا بر این نیروی واکنش کل محیط در سطح پیستون با رابطه زیر محاسبه می شود
که اگر به جای p مقدار آن را از معادله 7.67 قرار دهیم بدین عبارت در می آید
نیروی واکنش که از حرکت ds برسطح ابتدایی ‘ds وارد می شود برابر نیروی واکنشی است که از حرکت’ds برسطح ds وارد می گردد، چنانکه نتیجه نهایی انتگرال مضاعف معادلة 7.69 درست دو برابر نتیجه ای است که به دست خواهد آمد اگر حدود انتگرال گیری را چنان اختيار کنیم که نیروی مؤثر هر زوج از اجزای سطح دا فقط یک بار به حساب آورد، انتخاب این حدود مسئله را بسیار ساده می کند. با همین روش در مورد بالا عمل کرده و نتیجه را در دو ضرب می کنیم. در شکل 7.10 نمایش سطح پیستون فاصله شعاعی سطح ابتدایی ‘dsرا از مرکز 
و زاویه بین r خط واصل بين ds و ‘ds وقطر مار بر ds’ را 
فرض کنیم. با این مفروضات سطح ابتدایی ds برابر
و ماکسیمم فاصله آن از ‘ds در امتداد در هر نقطه از دایره ای به شعاع قرار گرفته باشد برابر 
است. حال چون حدود انتگرال را بين و ، و حدود انتگرال را بین
تا 
اختیار کنیم، تمام سطح درون دايره در محاسبه انتگرال نسبت به ds پوشانده می شود. حال در انتگرال ‘ds چون سطح ابتدایی ‘ds برابر
است، اگر حدود انتگرال 
را از 0 تا 
و حدود انتگرال و رابين 0 و a اختیار کنیم در حقیقت در محاسبه کلانتگرال، هر زوج از اجزای سطح پیستون يك بار در محاسبه داخل می شوند و مقدار نیروی واکنش دو برابر نتیجه انتگرالهای روش بالا است
که نتیجه محاسبه آن چنین است
که در آن 
و 
دو تابع امپدانس پیستو نند، و با رابطه های زیر معرفی می گردند
را تابع. مقاومت پیستون و را تابع راكتانس پیستون می گویند . مقادیر این تابعهای پیستون در جدول IV ضمیمه آمده اند و نمایش تغييرات آنها برحسب x در شکل 7.11 نمودار است.
به ازای مقدارهای کوچک x ، 
چون است، هر يك از تابعهای بالا را می توان با مراعات تقريب به وسيله نخستین جمله سری آن جایگزین ساخت، چنانکه
از طرف دیگر، هنگامی که x بزرگ باشد، می توان نشان داد که سریهای معرف تابعهای بالا چنان واگرا می شوند که می توان نوشت
